"Pane učiteli! Jak víte, že 1 + 1 = 2?"
Předesílám ale, že jsem důkaz této rovnosti nevymyslel. Zdrojem mi byl email http://mathforum.org/library/drmath/view/51551.html, jen jsem to přeložil, upravil a opatřil některými komentáři. Jdeme na to!
Důkaz postavíme na Peanových axiomech, které de facto definují a zavádějí matematicky korektně množinu všech přirozených čísel N. Je třeba ale nezaměnit Peanovy axiomy s axiomatickým zavedením vlastností přirozených čísel, např. asociativita, distributivita, komutativita, atd.
Takže Peanovy axiomy nám říkají toto:
A1: Číslo 1 je z množiny všech přirozených čísel N.
A2: Jestliže x je přirozené číslo, pak jeho následovník x´ je také z množiny všech přirozených čísel N.
A3: Neexistuje takové číslo x, jehož následovníkem by bylo číslo 1.
A4: Jestliže x <> 1, pak existuje takové číslo y z množiny všech přirozených čísel N, že y´ = x.
A5: Jestliže S je podmnožinou množiny všech přirozených čísel N, číslo 1 patří do množiny S a je splněna implikace, že pokud číslo x patří do množiny S, potom x´ patří také do množiny S, platí S = N.
Je zřejmé, že množinou všech přirozených čísel N je množina 1, 2, 3, ..., tedy číslo 0 (nula) nepatří do množiny všech přirozených čísel. A ještě si můžeme říci, že je možné množinu N rozšířit i o číslo 0, nicméně pak je třeba Peanovy axiomy trochu modifikovat (místo prvku 1 píšeme prvek 0).
Zajímavá poznámka na okraj: axiom A5 nám umožňuje jednu z nejzákladnějších technik provedení matematických důkazů: indukci, proto se velmi často nazývá také axiom indukce.
Nyní je třeba definovat operaci sčítání na množině všech přirozených čísel. Využijeme rekurzivní způsob:
Mějme přirozená čísla x a y. Jestliže y = 1, pak zaveďme x + y = x´ (viz axiomy A1 a A2.) Jestliže y <> 1, potom položme z´ = y, přičemž z je z množiny všech přirozených čísel N (viz axiom A4). Odtud můžeme psát: x + y = (x + z)´.
Zaveďme ještě číslo 2 takto: 2 = 1´.
Číslo 2 musí být dle axiomů A1 a A2 z množiny všech přirozených čísel N. A nyní přistupmě již k důkazu tvrzení 1 + 1 = 2.
Využijeme první části zavedení operace sčítání na množině všech přirozených čísel N, přičemž položme a = b = 1. Potom je 1 + 1 = 1´ = 2.
A tím je důkaz hotov.
Neošidím Vás ani o důkaz tvrzení 1 + 1 = 2, jestliže přijmeme skutečnost, že do množiny N patří i 0. Jak modifikovat Peanovy axiomy už víme, takže nyní onen důkaz.
Předně zavedeme operaci sčítání na množině N trochu jinak. Mějme přirozená čísla x a y. Jestliže y = 0, pak zaveďme x + y = x (viz axiomy A1 a A2.) Jestliže y <> 0, potom položme z´ = y, přičemž z je z množiny všech přirozených čísel N (viz axiom A4). Odtud můžeme psát: x + y = (x + z)´.
Tak a teď ještě musíme definovat čísla 1 a 2 takto: 1 = 0´ a zároveň 2 = 1´.
A nakonec kýžený důkaz, který vede před obě části zavedení operace sčítání na množině N:
Platí 1 + 1 = (1 + 0)´ a dále z první části definice operace sčítání na množině N je 1 + 1 = (1)´ = 2.
Tím je důkaz hotov. Paráda!
Radek Hampl
Schizofrenie státní správy
Ze státní správy odcházím, přesněji, dávám výpověď. Pracoval jsem v ní necelé 3 roky a před tím ještě 7 let jako učitel na střední škole (mimochodem, to by vydalo na samostatný článek). Tam, kde jsem pracoval zmíněné poslední 3 roky, hraje odbornost prim, nebo by alespoň měla. Legitimním požadavkem je vysokoškolské vzdělání v patřičném oboru. On obecně je na úřednické pozice stálý zájem státní správy zaměstnávat vysokoškoláky (alespoň Bc.), mnohdy však naprosto zbytečně, neboť na hodně pozicích VŠ vzdělání není třeba (na rozdíl od kvalitních středoškoláků, ti tam jsou třeba jako sůl).
Radek Hampl
Věci (ne)Veřejné už nikdy!!
Vážení, 18. 10. 2010 jsem publikoval článek s názvěm "Nevypočitatelné Věci veřejné". Z něj čišela určitá skepse, která na mě po komunálkách padla a tehdy jsem prohlašoval, že si myslím, že nové strany bez politických dinosaurů (a zejména pak VV) jsou pro mne nedůvěryhodné a že není možné předpovědět, jak se vlastně budou v politice chovat. Bohužel, nejen že se splnilo to, čeho jsem se bál, ale navíc to zcela předčilo ty nejčernější scénáře, které mne napadaly.
Radek Hampl
Kočkopes aneb, jak (ne)vybrat policejního prezidenta
Takže už několik dní nemáme policejního prezidenta. Po vládní krizi byl ten dosavadní odvolán, respektive abych byl přesnější, sám sice podal rezignaci, ale nikoliv dobrovolně. Na tom by nebylo nic divného, ministr vnitra musí mít k policejnímu prezidentovi důvěru a respektovat ho musí i sami policisté. Pokud tomu tak není, musí z kola ven. Jenže tak vyvstala další potřeba, totiž vybrat nového.
Radek Hampl
Zatmění Slunce 4. 1. 2011
Tak nám rok 2011 začal krásným nebeským úkazem. Paráda. Sluníčko se nám částečně schovalo a bylo možné pozorovat téměř 80% zatmění. Škoda jen, že jsem byl co se týče fotodokumentace naprosto nepřipraven a tak fotografie, které Vám ukazuji jsou výsledkem hrubé improvizace.
Radek Hampl
Velká koalice nemá logiku!!! A nebo že by přece jen měla?
ODS a ČSSD v Praze uzavřely po komunálních volbách koaliční smlouvu a daly vzniknout tzv. Velké koalici. V pořadí již druhé tohoto druhu, i když ta první byla na úrovni parlamentu ČR. Jsem pravicový volič, volil jsem vždy ODS. Tehdy i nyní. A ačkoliv se mi to moc nelíbilo, v té první Velké koalici jsem viděl přece jen určitou logiku (a o zištnosti nyní nemluvím.) V patové situaci po volbách by žádná z hlavních stran svého času neměla šanci sestavit takovou vládu, buď středopravou, nebo středolevou, případně jen levicovou či pravicovou takovou, aby měla většinu. Bylo to celkem vzato "na pytel", neslané, nemastné a strany se vzájemně kontrolovaly a nedovolily si prosadit v podstatě nic. Ale stát nejel alespoň v rozpočtovém provizoriu a tzv "udržovací práce" běžely normálně. V rámci možností.
Další články autora |
Studentky rozrušila přednáška psycholožky, tři dívky skončily v nemocnici
Na kutnohorské střední škole zasahovali záchranáři kvůli skupině rozrušených studentek. Dívky...
Tři roky vězení. Soud Ferimu potvrdil trest za znásilnění, odvolání zamítl
Městský soud v Praze potvrdil tříletý trest bývalému poslanci Dominiku Ferimu. Za znásilnění a...
Takhle se mě dotýkal jen gynekolog. Fanynky PSG si stěžují na obtěžování
Mnoho žen si po úterním fotbalovém utkání mezi PSG a Barcelonou postěžovalo na obtěžování ze strany...
Školu neznaly, myly se v potoce. Živořící děti v Hluboké vysvobodili až strážníci
Otřesný případ odhalili strážníci z Hluboké nad Vltavou na Českobudějovicku. Při jedné z kontrol...
Rusové hlásí průlom fronty. Ukrajinská minela jim přihrála klíčové město
Premium Jako „den průlomů“ oslavují ruští vojenští blogeři pondělní události na doněcké frontě, kde se...
Počasí v Česku opět ovlivní saharský prach. Vytvoří oblačnost, sníží teploty
Počasí v Česku dnes opět ovlivní saharský prach. Vytvoří oblačnost, se kterou nepočítaly...
Co v EU prosadili čeští europoslanci? Nabíječky i Erasmus, připomínají se
Premium V Bruselu a Štrasburku proběhlo v týdnu velké loučení. Ve stávajícím složení se totiž europoslanci...
Děti na Haiti cestou do školy překračují mrtvoly. Misie z USA líčí praktiky gangů
Premium Od spolupracovnice MF DNES v USA Co mi vyprávěli po telefonu známí z Haiti, k nimž tam jezdím: školy a obchody se řídí podle toho,...
Zastřelili ho, pomočili a pověsili. Jak vznikla fotka mrtvého Mussoliniho
Seriál Doufal, že uteče a i s milenkou dožije v bezpečí. To by se však víc než dvě dekády nesměl chlubit...
Akční letáky
Prohlédněte si akční letáky všech obchodů hezky na jednom místě!