"Pane učiteli! Jak víte, že 1 + 1 = 2?"

Na základní škole se naučíme počítat. Na střední škole si (někdy) tuto dovednost prohloubíme. Na vysoké jdeme (většinou) ještě dále. Málokoho ale napadne se ptát, jestli skutečně platí 1 + 1 = 2 (pro rejpaly, modulární aritmetiku nyní neuvažujeme). A pokud už nějakého zvídavého studenta napadne se zeptat, učitel v naprosté většině případů kolabuje. Téměř každý z nás bere tuto rovnost jako samozřejmou. V rodině se odpovídá: "To je blbej nápad se na to ptát, dyť je to jasný, ne?!" Učitel to zahraje do autu, že to jako překračuje osnovy nebo nějak podobně. A tak mě napadlo se na to podívat. Přeji Vám, abyste se pobavili tak, jako já. Je to geniálně jednoduché a jednoduše geniální!

Předesílám ale, že jsem důkaz této rovnosti nevymyslel. Zdrojem mi byl email http://mathforum.org/library/drmath/view/51551.html, jen jsem to přeložil, upravil a opatřil některými komentáři. Jdeme na to!

Důkaz postavíme na Peanových axiomech, které de facto definují a zavádějí matematicky korektně množinu všech přirozených čísel N. Je třeba ale nezaměnit Peanovy axiomy s axiomatickým zavedením vlastností přirozených čísel, např. asociativita, distributivita, komutativita, atd.

Takže Peanovy axiomy nám říkají toto:

A1: Číslo 1 je z množiny všech přirozených čísel N.
A2: Jestliže x je přirozené číslo, pak jeho následovník x´ je také z množiny všech přirozených čísel N.
A3: Neexistuje takové číslo x, jehož následovníkem by bylo číslo 1.
A4: Jestliže x <> 1, pak existuje takové číslo y z množiny všech přirozených čísel N, že y´ = x.
A5: Jestliže S je podmnožinou množiny všech přirozených čísel N, číslo 1 patří do množiny S a je splněna implikace, že pokud číslo x patří do množiny S, potom x´ patří také do množiny S, platí S = N.

Je zřejmé, že množinou všech přirozených čísel N je množina 1, 2, 3, ..., tedy číslo 0 (nula) nepatří do množiny všech přirozených čísel. A ještě si můžeme říci, že je možné množinu N rozšířit i o číslo 0, nicméně pak je třeba Peanovy axiomy trochu modifikovat (místo prvku 1 píšeme prvek 0).

Zajímavá poznámka na okraj: axiom A5 nám umožňuje jednu z nejzákladnějších technik provedení matematických důkazů: indukci, proto se velmi často nazývá také axiom indukce.

Nyní je třeba definovat operaci sčítání na množině všech přirozených čísel. Využijeme rekurzivní způsob:

Mějme přirozená čísla x a y.  Jestliže y = 1, pak zaveďme x + y = x´ (viz axiomy A1 a A2.) Jestliže y <> 1, potom položme z´ = y, přičemž z je z množiny všech přirozených čísel N (viz axiom A4). Odtud můžeme psát: x + y = (x + z)´.

Zaveďme ještě číslo 2 takto: 2 = 1´.

Číslo 2 musí být dle axiomů A1 a A2 z množiny všech přirozených čísel N. A nyní přistupmě již k důkazu tvrzení 1 + 1 = 2.

Využijeme první části zavedení operace sčítání na množině všech přirozených čísel N, přičemž položme a = b = 1. Potom je 1 + 1 = 1´ = 2.

A tím je důkaz hotov.

Neošidím Vás ani o důkaz tvrzení 1 + 1 = 2, jestliže přijmeme skutečnost, že do množiny N patří i 0. Jak modifikovat Peanovy axiomy už víme, takže nyní onen důkaz.

Předně zavedeme operaci sčítání na množině N trochu jinak. Mějme přirozená čísla x a y.  Jestliže y = 0, pak zaveďme x + y = x (viz axiomy A1 a A2.) Jestliže y <> 0, potom položme z´ = y, přičemž z je z množiny všech přirozených čísel N (viz axiom A4). Odtud můžeme psát: x + y = (x + z)´.

Tak a teď ještě musíme definovat čísla 1 a 2 takto: 1 = 0´ a zároveň 2 = 1´.

A nakonec kýžený důkaz, který vede před obě části zavedení operace sčítání na množině N:

Platí 1 + 1 = (1 + 0)´ a dále z první části definice operace sčítání na množině N je 1 + 1 = (1)´ = 2.

Tím je důkaz hotov. Paráda!